Question

$\left|\begin{array}{ccc}-2a& a+b& a+c\\ b+a& -2b& b+c\\ c+a& c+b& -2c\end{array}\right|=4(b+c)(c+a)(a+b)$.

Answer 1

$LHS=-8abc+2(b+c)(c+a)(a+b)+2a(b+c{)}^2+2b(c+a{)}^2+2c(a+b{)}^2$

$=2(b+c)(c+a)(a+b)+2a(b+c{)}^2-8abc+2b(c^2+2ca+a^2)+2c(a^2+2ab+b^2)$

$=2(b+c)(c+a)(a+b)+2a(b+c{)}^2+2b{c}^2+2b{a}^2+2c{a}^2+2c{b}^2$

$=2(b+c)(c+a)(a+b)+2a(b+c{)}^2+2a^2(b+c)+2bc(b+c)$

$=2(b+c)(c+a)(a+b)+2(b+c)\left\{a\right(b+c)+a^2+2bc\}$

$=2(b+c)(c+a)(a+b)+2(b+c)(c+a)(a+b)$

$=4(b+c)(c+a)(a+b)=RHS$