Question

Using the factor theorem it is found that a + b, b + c and c + a are three factors of the determinant

$\left|\begin{array}{ccc}-2a& a+b& a+c\\ b+a& -2b& b+c\\ c+a& c+b& -2c\end{array}\right|$

The other factor in the value of the determinant is
(a) 4
(b) 2
(c) a + b + c
(d) none of these

Answer 1

(a) 4

$$\begin{gathered} \mathrm{\Delta }=\left|-2aa+ba+c \\ b+a-2bb+c \\ c+ac+b-2c\right| \\ \mathrm{Let}\mathrm{a}+\mathrm{b}=2\mathrm{C},\mathrm{b}+\mathrm{c}=2\mathrm{A}\mathrm{and}\mathrm{c}+\mathrm{a}=2\mathrm{B}. \\ \Rightarrow \mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{c}+\mathrm{a}=2\mathrm{A}+2\mathrm{B}+2\mathrm{C} \\ \Rightarrow 2\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)=2\left(\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}\right) \\ \Rightarrow \mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C} \\ \mathrm{Also}, \\ \mathrm{a}=\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)-\left(\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)=\left(\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}\right)-2\mathrm{A}=\mathrm{B}+\mathrm{C}-\mathrm{A} \\ \mathrm{Similarly}, \\ \mathrm{b}=\mathrm{C}+\mathrm{A}-\mathrm{B},\mathrm{c}=\mathrm{A}+\mathrm{B}-\mathrm{C} \\ \mathrm{\Delta }=\left|2\mathrm{A}-2\mathrm{B}-2\mathrm{C}2\mathrm{C}2\mathrm{B} \\ 2\mathrm{C}2\mathrm{B}-2\mathrm{C}-2\mathrm{A}2\mathrm{A} \\ 2\mathrm{B}2\mathrm{A}2\mathrm{C}-2\mathrm{A}-2\mathrm{B}\right|=8\times \left|\mathrm{A}-\mathrm{B}-\mathrm{C}\mathrm{C}\mathrm{B} \\ \mathrm{C}\mathrm{B}-\mathrm{C}-\mathrm{A}\mathrm{A} \\ \mathrm{B}\mathrm{A}\mathrm{C}-\mathrm{A}-\mathrm{B}\right|\left[\mathrm{taking}\mathrm{out}2\mathrm{common}\mathrm{from}{\mathrm{R}}_1{\mathrm{R}}_2{\mathrm{R}}_3\right] \\ =8\times \left|\mathrm{A}-\mathrm{B}\mathrm{C}+\mathrm{B}\mathrm{B} \\ \mathrm{B}-\mathrm{A}\mathrm{B}-\mathrm{C}\mathrm{A} \\ \mathrm{B}\mathbf{+}\mathbf{}\mathrm{A}\mathrm{C}-\mathrm{B}\mathrm{C}-\mathrm{A}-\mathrm{B}\right|\left[\mathrm{Applying}{\mathrm{C}}_1\to {\mathrm{C}}_1+{\mathrm{C}}_2,{\mathrm{C}}_2\to {\mathrm{C}}_2+{\mathrm{C}}_3\right] \\ =8\times \left|\left(\mathrm{A}-\mathrm{B}\right)\mathrm{C}+\mathrm{B}\mathrm{B} \\ 02\mathrm{B}\mathrm{A}+\mathrm{B} \\ 2\mathrm{B}0\mathrm{C}-\mathrm{B}\right|\left[\mathrm{Applying}{\mathrm{R}}_2\to {\mathrm{R}}_1+{\mathrm{R}}_2,{\mathrm{R}}_3\to {\mathrm{R}}_2+{\mathrm{R}}_3\right] \\ =8\times \left\{\left(\mathrm{A}-\mathrm{B}\right)\left|2\mathrm{B}\mathrm{A}+\mathrm{B} \\ 0\mathrm{C}-\mathrm{B}\right|+\left(2\mathrm{B}\right)\times \left|\mathrm{C}+\mathrm{B}\mathrm{B} \\ 2\mathrm{B}\mathrm{A}+\mathrm{B}\right|\right\}\left[\mathrm{Expanding}\mathrm{along}{C}_1\right] \\ =16\mathrm{B}\left\{\left(\mathrm{A}-\mathrm{B}\right)\left(C-B\right)+\left(C+B\right)\left(A+B\right)-2B^2\right\} \\ =32\mathrm{ABC} \\ =32\left(\frac{\mathrm{b}+\mathrm{c}}{2}\right)\left(\frac{\mathrm{c}+\mathrm{a}}{2}\right)\left(\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{2}\right) \\ =4\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{b}+\mathrm{c}\right)\left(\mathrm{c}+\mathrm{a}\right) \\ \mathrm{Hence},4\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{other}\mathrm{factor}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{determinant}. \end{gathered}$$