Question

Evaluate :

$\left|\begin{array}{ccc}a& b+c& a^2\\ b& c+a& b^2\\ c& a+b& c^2\end{array}\right|$

Answer 1

$$\begin{gathered} ∆=\left|\begin{array}{ccc}a& b+c& a^2\\ b& c+a& b^2\\ c& a+b& c^2\end{array}\right| \\ \mathrm{When}a=b,\mathrm{the}\mathrm{first}\mathrm{two}\mathrm{rows}\mathrm{become}\mathrm{identical}.\mathrm{Hence},a-b\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{factor}. \\ \mathrm{Similarly},\mathrm{when}b=c\mathrm{the}\mathrm{second}\mathrm{and}\mathrm{third}\mathrm{rows}\mathrm{become}\mathrm{identical}.\mathrm{So},b-c\mathrm{is}\mathrm{also}\mathrm{a}\mathrm{factor}. \\ \mathrm{Also},\mathrm{when}c=a,\mathrm{the}\mathrm{third}\mathrm{and}\mathrm{first}\mathrm{rows}\mathrm{become}\mathrm{identical}.\mathrm{Hence},c-a\mathrm{is}\mathrm{also}\mathrm{a}\mathrm{factor}. \\ \mathrm{The}\mathrm{product}\mathrm{of}\mathrm{diagonal}\mathrm{elements},\mathrm{a}(\mathrm{c}+\mathrm{a}){\mathrm{c}}^2\mathrm{is}4.\mathrm{So},\mathrm{the}\mathrm{other}\mathrm{factor}\mathrm{should}\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{linear}\mathrm{in}a,\mathit{}b\mathit{}\mathrm{and}\mathit{}c.\mathrm{It}\mathrm{should}\mathrm{also}\mathrm{remain}\mathrm{unaltered}\mathrm{when}\mathrm{any}\mathrm{two}\mathrm{letters}\mathrm{are}\mathrm{changed}.\mathrm{Let}\mathrm{this}\mathrm{factor}\mathrm{be}\mathrm{\lambda }(\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}). \\ \mathrm{Here},\mathrm{\lambda }\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{constant}.\mathrm{To}\mathrm{find}\mathrm{this},\mathrm{we}\mathrm{have} \\ a=0,b=1,c=2 \\ \left|\begin{array}{ccc}0& 3& 2\\ 1& 2& 1\\ 2& 1& 4\end{array}\right|=\lambda (a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c) \\ \left|\begin{array}{ccc}0& 3& 2\\ 1& 2& 1\\ 2& 1& 4\end{array}\right|=\lambda (0-1)(1-2)(2-1)(0+1+2) \\ \Rightarrow -6=6\lambda \\ \Rightarrow \lambda =-1 \\ \mathrm{Thus}, \\ \left|\begin{array}{ccc}a& b+c& a^2\\ b& c+a& b^2\\ c& a+b& c^2\end{array}\right|=-\left(\right(a+b+c\left)\right)(a-b)(b-c)(c-a) \end{gathered}$$