Question

Evaluate: $\int \tan x\tan 2x\tan 3x$dx

• A. $[-\log (\sec x)-\frac{1}{2}\log \left(\sec 2x\right)+\frac{1}{3}\log \left(\sec 3x\right)]+c$
• B. $[-\log (\sec x)-\frac{1}{2}\log \left(\sec 2x\right)-\frac{1}{3}\log \left(\sec 3x\right)]+c$
• C. $[-\log (\sec x)+\frac{1}{2}\log \left(\sec 2x\right)-\frac{1}{3}\log \left(\sec 3x\right)]+c$
• D. $[-\log (\sec x)+\frac{1}{2}\log \left(\sec 2x\right)+\frac{1}{3}\log \left(\sec 3x\right)]+c$

Answer 1

Answer: (A)

$[-\log (\sec x)-\frac{1}{2}\log \left(\sec 2x\right)+\frac{1}{3}\log \left(\sec 3x\right)]+c$

As $3x=x+2x\Rightarrow \tan 3x=\tan (x+2x)$

$\Rightarrow \tan 3x=\frac{\tan x+\tan 2x}{1-\tan x\tan 2x}$

$\Rightarrow \tan 3x-\tan x\tan 2x\tan 3x=\tan x+\tan 2x$

$\Rightarrow \tan x\tan 2x\tan 3x=\tan 3x-\tan x-\tan 2x$

Now
$\int \tan x\tan 2x\tan 3xdx=\int (\tan 3x-\tan x-\tan 2x)dx$

$=\frac{1}{3}\log \left(\sec 3x\right)-\log \left(\sec x\right)-\frac{1}{2}\log \left(\sec 2x\right)$