Question

Find the equation of the plane passing through the point (1,-2,1) and perpendicular to the line joining the points A(3, 2,1) and B(1, 4, 2).

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{equation}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{plane}\mathrm{passing}\mathrm{through}\mathrm{the}\mathrm{point}\left(1,-2,1\right)\mathrm{is}, \\ \mathrm{a}\left(\mathrm{x}-1\right)+\mathrm{b}\left(\mathrm{y}+2\right)+\mathrm{c}\left(\mathrm{z}-1\right)=0......\left(1\right) \\ \mathrm{Here},\left(\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\right)\mathrm{are}\mathrm{the}\mathrm{direction}\mathrm{ratios}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{normal}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{plane}. \\ \mathrm{Equation}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{line}\mathrm{joining}\mathrm{the}\mathrm{points}\mathrm{A}\left(3,2,1\right)\mathrm{and}\mathrm{B}\left(1,4,2\right)\mathrm{is}, \\ \frac{\mathrm{x}-3}{1-3}=\frac{\mathrm{y}-2}{4-2}=\frac{\mathrm{z}-1}{2-1} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{x}-3}{-2}=\frac{\mathrm{y}-2}{2}=\frac{\mathrm{z}-1}{1}.......\left(2\right) \\ \mathrm{Now},\mathrm{direction}\mathrm{ratios}\mathrm{of}\mathrm{line}\mathrm{AB}\mathrm{are}: \\ \left({\mathrm{a}}_1,{\mathrm{b}}_1,{\mathrm{c}}_1\right)=\left(-2,2,1\right) \\ \mathrm{Since},\mathrm{the}\mathrm{plane}\left(1\right)\mathrm{is}\perp \mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{line}\mathrm{AB},\mathrm{then} \\ \left(\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\right)\equiv \left({\mathrm{a}}_1,{\mathrm{b}}_1,{\mathrm{c}}_1\right)=\left(-2,2,1\right) \\ \mathrm{Putting}\mathrm{the}\mathrm{values}\mathrm{of}\mathrm{a},\mathrm{b}\mathrm{and}\mathrm{c}\mathrm{in}\left(1\right),\mathrm{we}\mathrm{get} \\ -2\left(\mathrm{x}-1\right)+2\left(\mathrm{y}+2\right)+1\left(\mathrm{z}-1\right)=0 \\ \Rightarrow -2\mathrm{x}+2+2\mathrm{y}+4+\mathrm{z}-1=0 \\ \Rightarrow -2\mathrm{x}+2\mathrm{y}+\mathrm{z}+5=0 \\ \Rightarrow \boxed{\mathbf{2}\mathbf{x}\mathbf{}\mathbf{-}\mathbf{}\mathbf{2}\mathbf{y}\mathbf{}\mathbf{-}\mathbf{}\mathbf{z}\mathbf{}\mathbf{-}\mathbf{}\mathbf{5}\mathbf{}\mathbf{=}\mathbf{}\mathbf{0}} \end{gathered}$$