Question

If $\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}$and $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c,}\overrightarrow{a}\ne 0,$then
(a) $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$

(b) $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$

(c) $\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$

(d) none of these

Answer 1

(a) $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$

$$\begin{gathered} \overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c} \\ \stackrel{}{\Rightarrow \overrightarrow{a}}·\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}·\overrightarrow{c}=0 \\ \Rightarrow \overrightarrow{a.}\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)=0 \\ \mathrm{Let}\theta \mathrm{be}\mathrm{the}\mathrm{angle}\mathrm{between}\overrightarrow{a}\mathrm{and}\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right) \\ \left|\overrightarrow{a}\right|\left|\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)\right|\cos \theta ...\left(1\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{and}\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c} \\ \Rightarrow \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{c}=0 \\ \Rightarrow \overrightarrow{a}\times \left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)=0 \\ \mathrm{Then},\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)\right|\sin \theta =0...\left(2\right) \\ \mathrm{Here},\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{that}\overrightarrow{a}\ne 0 \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{for}\mathrm{eq}\left(1\right)\mathrm{and}\mathrm{eq}\left(2\right)\mathrm{to}\mathrm{be}0 \\ \mathrm{We}\mathrm{have}, \\ \left|\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)\right|\cos \theta =0 \\ \mathrm{For}\left|\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)\right|\cos \theta =0,\mathrm{one}\mathrm{of}\left|\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)\right|\mathrm{or}\cos \theta \mathrm{must}\mathrm{be}0 \\ \mathrm{Case}1: \\ \mathrm{Let}\cos \theta =0 \\ \Rightarrow \theta =90° \\ \Rightarrow \sin \theta =1 \\ \&\mathrm{if}\left|\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)\right|\sin \theta =0\mathrm{and}\sin \theta =1 \\ \mathrm{Then}\left|\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)\right|=0 \\ \Rightarrow \overrightarrow{b}=\overrightarrow{c} \\ \mathrm{Case}2: \\ \mathrm{Let}\left|\left(\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}\right)\right|=0 \\ \Rightarrow \overrightarrow{b}=\overrightarrow{c} \\ \mathrm{Hence},\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c} \end{gathered}$$