Question

If A + B + C = ${180}^{\circ }$, then sin (B + 2C) + sin (C + 2A) + sin (A + 2B)

• A. 4 sin . sin . cos
• B. 4 sin . sin . sin
• C. 1 + 4 sin . sin . sin
• D. 1 + 4 sin . sin . cos

Answer 1

The correct option is B

4 sin . sin . sin

sin (B + C + C) + sin (C+A+A) + sin (A + B + B)

= sin (180 - A + C) + sin (180 - B + A) + sin (180 - C + B)

= sin (180 - (A - C)) + sin (180 - (B - A)) + sin (180 - (C - B))

= sin (A - C) + sin (B - A) + sin (C - B)

= 2 sin $\frac{(A-C+B-A)}{2}$ . cos $\frac{(A-C-B+A)}{2}$ + 2sin $\frac{(C-B)}{2}$ . cos$\frac{(C-B)}{2}$

= 2 sin $\frac{(B-C)}{2}$ . cos $\left(\frac{(2A-B-C)}{2}\right)$ + 2sin $\frac{-(B-C)}{2}$ . cos$\frac{(C-B)}{2}$

= 2 sin $\frac{B-C}{2}$ . cos $\left(\frac{2A-B-C}{2}\right)$ - 2sin $\frac{B-C}{2}$ . cos$\frac{C-B}{2}$

= 2 sin $\frac{B-C}{2}$ $[cos\left(\frac{(2A-B-C)}{2}\right)-cos\frac{C-B}{2}]$

= 2 sin $\frac{B-C}{2}$ $[2sin\frac{\left(\frac{2A-B-C+C-B}{2}\right)}{2}.sin\frac{(\frac{C-B}{2}-\frac{2A-B-C}{2})}{2}]$

= 2 sin $\frac{B-C}{2}$ $[2sin\frac{\left(\frac{2A-2B}{2}\right)}{2}.sin\frac{\left(\frac{2C-2B}{2}\right)}{2}]$

= 2 sin $\frac{B-C}{2}$ . 2 sin $\frac{A-B}{2}$ . sin $\frac{C-A}{2}$

= 4 sin $\frac{B-C}{2}$ . sin $\frac{C-A}{2}$ . sin $\frac{A-B}{2}$