Question

If A + B + C = $\pi$. Then

$\begin{array}{cc}\text{Column A}& \text{Column B}\\ \text{1.sin2A + sin2B + sin2C}& \text{A.cos}\frac{A}{2}\text{cos}\frac{B}{2}\text{cos}\frac{C}{2}\\ \text{2.sinA + sinB + sinC}& \text{B.1+4sin}\frac{A}{2}\text{sin}\frac{B}{2}\text{sin}\frac{C}{2}\\ \text{3.cos2A + cos2B + cos2C}& \text{C.4sinA sinB sinC}\\ \text{4.cosA + cosB + cosC}& \text{D.-1-4cosA + cosB + cosC}\end{array}$

• A. 1 - B, 2 - D, 3 - C, 4 - A
• B. 1 - A, 2 - C, 3 - D, 4 - B
• C. 1 - C, 2 - A, 3 - D, 4 - B
• D. 1 - C, 2 - A, 3 - B, 4 - D

Answer 1

The correct option is C

1 - C, 2 - A, 3 - D, 4 - B

1. sin2A + sin2B + sin2C

we need to just simplify the given expression.

We know,

sinA + sinB = 2 sin$\frac{(A+B)}{2}$. cos$\frac{(A-B)}{2}$

2sin$\frac{(2A+2B)}{2}$.cos$\frac{(2A+2B)}{2}$ + sin 2[$\pi$ - (A+B)]

2 sin(A+B).cos(A-B)+ sin (2$\pi$ - 2(A+B))

2 sin(A+B).cos(A-B) - sin 2(A+B)

2 sin(A+B).cos(A-B) - 2 sin(A+B). cos(A+B) {sin 2A = 2 sinA cosA}

2 sin(A+B){cos(A-B) - cos(A+B)}

= 2 sin($\pi$ - C) $\left[2sin\frac{(A-B+A+B)}{2}sin\frac{(A+B-A+B)}{2}\right]$

= 2 sinC{2 . sinA . sinB}

= 4 sinA sinB sinC

2.sinA sinB sinC

2 sin$\frac{(A+B)}{2}$ . cos$\frac{(A-B)}{2}$ + sin ($\pi$ - (A+B)) {C = $\pi$ - (A+B)}

= 2 sin$\frac{(A+B)}{2}$ . cos$\frac{(A-B)}{2}$ + sin(A+B)

= 2 sin$\frac{(A+B)}{2}$ . cos$\frac{(A-B)}{2}$ + 2 sin$\frac{(A+B)}{2}$ . cos$\frac{(A+B)}{2}$ $[sinA=2sin\frac{A}{2}.cos\frac{A}{2}]$

= 2 sin$\frac{(A+B)}{2}$ $[cos\frac{A-B}{2}+cos\frac{A+B}{2}]$

= $2sin\left(\frac{\pi -C}{2}\right)\times [2cos\frac{\left(\frac{A-B+A+B}{2}\right)}{2}\times cos\frac{\left(\frac{A+B-A+B}{2}\right)}{2}]$

= 2 sin $(\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2})$.2 cos$\frac{A}{2}$ . cos$\frac{B}{2}$

= 2 cos$\frac{C}{2}$ . 2cos$\frac{A}{2}$ . cos$\frac{B}{2}$

= 4 cos$\frac{A}{2}$ cos$\frac{B}{2}$ cos$\frac{C}{2}$

3. cos2A + cos2B + cos2C

2 cos $\frac{(2A+2B)}{2}$ cos$\frac{(2A-2B)}{2}$ + cos 2($\pi$ - (A+B))

= 2 cos(A+B). cos(A-B) + {cos (2$\pi$ - 2(A+B))}

= 2 cos(A+B). cos(A-B) + cos 2(A+B)

= 2 cos(A+B). cos(A-B) + 2$co{s}^2$(A+B) - 1 {cos 2A = 2$co{s}^2$ A - 1}

= 2 cos(A+B) {cos(A-B) + cos(A+B)} - 1

= $2cos(\pi -C)\left\{2cos\frac{(A-B+A+B)}{2}cos\frac{(A+B-A+B)}{2}\right\}-1$

= -2cos C {2 cosA cosB} - 1

= -4 cosA cosB cosC - 1

4. cosA + cosB + cosC

= 2 cos $\frac{(A+B)}{2}$ . cos $\frac{(A-B)}{2}$ + cos{$\pi$ - (A+B)}

= 2 cos $\frac{(A+B)}{2}$ . cos $\frac{(A-B)}{2}$ +{-cos (A+B)}

= 2 cos $\frac{(A+B)}{2}$ . cos $\frac{(A-B)}{2}$ - cos(A+B)

= 2 cos $\frac{(A+B)}{2}$ . cos $\frac{(A-B)}{2}$ - $[2co{s}^2\frac{(A+B)}{2}-1]$ {cos 2A = 2 $co{s}^2$ A - 1}

= 2 cos $\frac{(A+B)}{2}$ . cos $\frac{(A-B)}{2}$ - $2co{s}^2\frac{(A+B)}{2}+1$

= 2 cos $\frac{(A+B)}{2}$ $[cos\frac{(A-B)}{2}-cos\frac{(A+B)}{2}]$ + 1

= 2 cos $\frac{(\pi +C)}{2}$ $[2sin\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}+1]$

= 2 sin$\frac{C}{2}$ . 2 sin$\frac{A}{2}$ . sin$\frac{B}{2}$ + 1

= 1 + 4sin$\frac{A}{2}$ sin$\frac{B}{2}$ sin$\frac{C}{2}$