Question

If $\frac{d}{dx}f\left(x\right)=g\left(x\right)$ then ${\int }_a^{b}f\left(x\right)g\left(x\right)dx=$

• A. $\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{2}$
• B. $\frac{f\left(a\right)-f\left(b\right)}{2}$
• C. $\frac{f^2\left(b\right)-f^2\left(a\right)}{2}$
• D. $\frac{f^2\left(a\right)-f^2\left(b\right)}{2}$

Answer 1

Answer: (C)

$\frac{f^2\left(b\right)-f^2\left(a\right)}{2}$

$\frac{d}{dx}f\left(x\right)=g\left(x\right)$ (given)

$\Rightarrow \int g\left(x\right)=f\left(x\right)$

$I{\int }_a^{b}f\left(x\right)g\left(x\right)dx$

$I$ $II$

$I$ $=f\left(x\right)\int g\left(x\right)dx-\int \left[\frac{d}{dx}f\left(x\right)\times \int g\left(x\right)dx\right]dx$

$I$ $=f\left(x\right)f\left(x\right)-{\int }_a^{b}g\left(x\right)+f\left(x\right)dx$

$I$ $={{\left[f^2\left(x\right)\right]}^b}_a-I$

$=2I={{\left[f^2\left(x\right)\right]}^b}_a$

$I=\frac{1}{2}{{\left[f^2\left(x\right)\right]}^b}_a=\frac{\left[f^2\left(b\right)-f^2\left(a\right)\right]}{2}$