Question

If $|1-\frac{|sinx|}{1+|sinx|}|\ge \frac{2}{3}$, then sin x lies in

• A. $(-\infty ,\frac{-1}{2}]\cup [\frac{1}{2},\infty )$
• B. $(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$
• C. $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$
• D. none of these

Answer 1

The correct option is C $[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$

$|sinx|\ge 0\Rightarrow \frac{|sinx|}{|1+|sinx|}<1$
$\Rightarrow 1-\frac{|sinx|}{|1+|sinx|}>0$
So the given equation becomes
$1-\frac{|sinx|}{|1+|sinx|}\ge \frac{2}{3}$
$\Rightarrow \frac{1}{3}\ge \frac{|sinx|}{|1+|sinx||}$

$\Rightarrow |1+|sinx||\ge 3|sinx|$

$\Rightarrow |sinx|\le \frac{1}{2}$
$\Rightarrow -\frac{1}{2}\le sinx\le \frac{1}{2}\Rightarrow \sin x\in [-\frac{1}{2},\frac{1}{2}]$