Question

If $f\left(x\right)=\frac{2^x+2^{-x}}{2}$, then $f(x+y)\cdot f(x-y)$ is

• A. $\frac{1}{4}\left[f\right(2x)-f(2y\left)\right]$
• B. $\frac{1}{2}\left[f\right(2x)-f(2y\left)\right]$
• C. $\frac{1}{4}\left[f\right(2x)+f(2y\left)\right]$
• D. $\frac{1}{2}\left[f\right(2x)+f(2y\left)\right]$

Answer 1

The correct option is D $\frac{1}{2}\left[f\right(2x)+f(2y\left)\right]$

Given $f\left(x\right)=\frac{2^x+2^{-x}}{2}$
Now, $f(x+y)=\frac{2^{x+y}+2^{-x-y}}{2}$
and $f(x-y)=\frac{2^{x-y}+2^{-x+y}}{2}$
$\therefore f(x+y)\cdot f(x-y)$
$=\frac{(2^{x+y}+2^{-x-y})}{2}\cdot \frac{2^{x-y}+2^{-x+y})}{2}$
$=\frac{2^{2x}+2^{-2y}+2^{2y}+2^{-2x}}{4}$
$=\frac{1}{2}\{\left(\frac{2^{2x}+2^{-2x}}{2}\right)+\left(\frac{2^{2y}+2^{-2y}}{2}\right)\}$
$=\frac{1}{2}\left\{f\right(2x)+f(2y\left)\right\}$