Question

If $f\left(x\right)=\frac{2^x+2^{-x}}{2}$, then $f(x+y)\cdot f(x-y)=$ ____________

• A. $\frac{1}{4}\left[f\right(2x)+f(2y\left)\right]$
• B. $\frac{1}{2}\left[f\right(2x)+f(2y\left)\right]$
• C. $\frac{1}{2}\left[f\right(2x)-f(2y\left)\right]$
• D. $\frac{1}{4}\left[f\right(2x)-f(2y\left)\right]$

Answer 1

The correct option is B $\frac{1}{2}\left[f\right(2x)+f(2y\left)\right]$

Given that $f\left(x\right)=\frac{2^x+2^{-x}}{2}$

$=\frac{2^x+\frac{1}{2^x}}{2}$

$=\frac{2^{2x}+1}{2^{x+1}}$

$\therefore f(x+y)=\frac{2^{2(x+y)}+1}{2^{x+y+1}}$

$=\frac{1}{2}[2^{x+y}+2^{-(x+y)}]$

Similarly, $f(x-y)=\frac{1}{2}[2^{x-y}+2^{-(x-y)}]$

$\therefore f(x+y).f(x-y)=\frac{1}{2}[2^{x+y}+2^{-x-y}].\frac{1}{2}[2^{x-y}+2^{-x+y}]$

$=\frac{1}{4}(2^{2x}+2^{2y}+2^{-2y}+2^{-2x})$

$=\frac{1}{4}\left[(2^{2x}+2^{2y})+(2^{-2y}+2^{-2x})\right]$

$=\frac{1}{4}\left[2f\right(2x)+2f(2y\left)\right]$

$=\frac{1}{2}\left[f\right(2x)+f(2y\left)\right]$