Question

if y=x^x-2^sinx, then find dy/dx

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{y}={\mathrm{x}}^{\mathrm{x}}-2\sin \mathrm{x} \\ \mathrm{Let}\mathrm{y}=\mathrm{u}-\mathrm{v} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}-\frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}......\left(1\right) \\ \mathrm{Now},\mathrm{u}={\mathrm{x}}^{\mathrm{x}} \\ \Rightarrow \log \mathrm{u}=\log {\mathrm{x}}^{\mathrm{x}} \\ \Rightarrow \log \mathrm{u}=\mathrm{x}\log \mathrm{x} \\ \Rightarrow \frac{1}{\mathrm{u}}\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{x}\times \frac{1}{\mathrm{x}}+\log \mathrm{x} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}=\mathrm{u}\left[1+\log \mathrm{x}\right] \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{du}}{\mathrm{dx}}={\mathrm{x}}^2\left(1+\log \mathrm{x}\right) \\ \mathrm{Now},\mathrm{v}=2\sin \mathrm{x} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{dv}}{\mathrm{dx}}=2\cos \mathrm{x} \\ \mathrm{Now},\mathrm{from}\left(1\right),\mathrm{we}\mathrm{get}, \\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}={\mathrm{x}}^2\left(1+\log \mathrm{x}\right)-2\cos \mathrm{x} \end{gathered}$$