Question

Integrate the function $\frac{\sin x}{\sin (x-a)}$

Answer 1

Let $x-a=t\Rightarrow dx=dt$
$\Rightarrow \int \frac{\sin x}{\sin (x-a)}dx=\int \frac{\sin (t-a)}{\sin t}dt$
$=\int \frac{\sin t\cos a+\cos t\sin a}{\sin t}dt$
$=\int (\cos a+\cot t\sin a)dt$
$=t\cos a+\sin a\log |\sin t|+C_1$
$=(x-a)\cos a+\sin a\log |\sin (x-a)|+C_1$
$=x\cos a+\sin a\log |\sin (x-a)|-a\cos a+C_1$
$=\sin a\log |\sin (x-a)|+x\cos a+C$