Question

integration of (e^x + e^-x) dx / e^x - e^-x

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{I}=\int \left(\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}}\right)\mathrm{dx} \\ \mathrm{Put}\left({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right)=\mathrm{t} \\ \Rightarrow \left({\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right)\mathrm{dx}=\mathrm{dt} \\ \mathrm{Now},\mathrm{I}=\int \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}} \\ =\log \left|\mathrm{t}\right|+\mathrm{C} \\ =\log \left|{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}-{\mathrm{e}}^{-\mathrm{x}}\right|+\mathrm{C} \end{gathered}$$