Question

Let three vectors $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ and $\overrightarrow{c}$ be such that $\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{c},\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}$ and $|\overrightarrow{a}|=2.$ Then which one of the following is not true:

• A. $\overrightarrow{a}\times ((\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\times (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}))=\overrightarrow{0}$
• B. Projection of $\overrightarrow{a}$ on $(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})$ is $2$
• C. $\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]+\left[\overrightarrow{c}\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\right]=8$
• D. $|3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}{|}^2=51$

Answer 1

The correct option is D $|3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}{|}^2=51$

$\because \overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}\Rightarrow (\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}).\overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}.\overrightarrow{c}$
$\therefore \left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]=|\overrightarrow{c}{|}^2\cdots \left(i\right)$
and $(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}\Rightarrow \overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}$
$\therefore \left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]=|\overrightarrow{a}{|}^2=4\cdots \left(ii\right)$
$\therefore |\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{c}|=2$

Option: $\left(1\right)$
$\overrightarrow{a}\times ((\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})\times (\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}))=\overrightarrow{a}\times (-\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}+\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{b})$

$=2\overrightarrow{a}\times (\overrightarrow{c}\times \overrightarrow{b})=2\overrightarrow{a}\times (-\overrightarrow{a})=\overrightarrow{0}$

Option: $\left(2\right)$
Projection of $\overrightarrow{a}\text{on}(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})=\frac{\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c})}{|\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}|}=\frac{|\overrightarrow{a}{|}^2}{|\overrightarrow{a}|}=2$

Option: $\left(3\right)$
$\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]+\left[\overrightarrow{c}\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\right]=2\left[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}\right]=8$

Option: $\left(4\right)$
$|3\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}{|}^2$
$=9{\overrightarrow{a}}^2+{\overrightarrow{b}}^2+4{\overrightarrow{c}}^2+6\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}-4\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}-12\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}$
$={9.2}^2+1^2+{4.2}^2+0$
$=53$
$\because \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}=\overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}=0$

and $[\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}\overrightarrow{c}{]}^2=\left|\begin{array}{ccc}\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}& \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}& \overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}\\ \overrightarrow{b}.\overrightarrow{a}& \overrightarrow{b}.\overrightarrow{b}& \overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}\\ \overrightarrow{c}.\overrightarrow{a}& \overrightarrow{c}.\overrightarrow{b}& \overrightarrow{c}.\overrightarrow{c}\end{array}\right|$
$\therefore 16=|\overrightarrow{a}{|}^2|\overrightarrow{b}{|}^2|\overrightarrow{c}{|}^2$
$\therefore |\overrightarrow{b}|=1$