Question

if cotA=3x-1l12x , prove that cotA+cosecA=6x or -1l6x

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Given},\mathrm{cotA}=3\mathrm{x}-\frac{1}{12\mathrm{x}} \\ \Rightarrow \sqrt{{\mathrm{cosec}}^2\mathrm{A}-1}=3\mathrm{x}-\frac{1}{12\mathrm{x}}(1+{\cot }^2\mathrm{A}={\mathrm{cosec}}^2\mathrm{A}) \\ \Rightarrow {\mathrm{cosec}}^2\mathrm{A}-1=(3\mathrm{x}-\frac{1}{12\mathrm{x}}{)}^2 \\ \Rightarrow {\mathrm{cosec}}^2\mathrm{A}=(3\mathrm{x}-\frac{1}{12\mathrm{x}}{)}^2+1 \\ \Rightarrow \mathrm{cosecA}=\sqrt{(3\mathrm{x}-\frac{1}{12\mathrm{x}}{)}^2+1} \\ \Rightarrow \mathrm{cosecA}=\frac{1}{12\mathrm{x}}\sqrt{(36{\mathrm{x}}^2-1{)}^2+144{\mathrm{x}}^2} \\ \Rightarrow \mathrm{cosecA}=\frac{1}{12\mathrm{x}}\sqrt{1296{\mathrm{x}}^4-72{\mathrm{x}}^2+1+144{\mathrm{x}}^2} \\ \Rightarrow \mathrm{cosecA}=\frac{1}{12\mathrm{x}}\sqrt{(36{\mathrm{x}}^2+1{)}^2} \\ \Rightarrow \mathrm{cosecA}=\pm \frac{1}{12\mathrm{x}}(36{\mathrm{x}}^2+1)=\pm (3\mathrm{x}+\frac{1}{12\mathrm{x}}) \\ \mathrm{Now}, \\ \mathrm{cotA}+\mathrm{cosecA}=3\mathrm{x}-\frac{1}{12\mathrm{x}}\pm (3\mathrm{x}+\frac{1}{12\mathrm{x}}) \\ \mathrm{cotA}+\mathrm{cosecA}=6\mathrm{x}\mathrm{or}-\frac{1}{6\mathrm{x}} \end{gathered}$$