Question

if the lines 3x - 4y + 4 =0, and 6x - 8y -7=0 are tangents to a circle then find the radius of the circle.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{two}\mathrm{lines}\mathrm{are}, \\ 3\mathrm{x}-4\mathrm{y}+4=0 \\ \Rightarrow \mathrm{y}=\frac{3\mathrm{x}}{4}+1 \\ \mathrm{It}\mathrm{has}\mathrm{slope}=\frac{3}{4} \\ \mathrm{and}6\mathrm{x}-8\mathrm{y}-7=0 \\ \Rightarrow \mathrm{y}=\frac{3}{4}\mathrm{x}-\frac{7}{8} \\ \mathrm{It}\mathrm{has}\mathrm{slope}=\frac{3}{4} \\ \mathrm{Since},\mathrm{slope}\mathrm{of}\mathrm{both}\mathrm{the}\mathrm{tangents}\mathrm{are}\mathrm{equal},\mathrm{so}\mathrm{these}\mathrm{two}\mathrm{lines}\mathrm{are}\mathrm{parallel}. \\ \mathrm{distance}\mathrm{between}\mathrm{two}\mathrm{parallel}\mathrm{tangents}\mathrm{to}\mathrm{a}\mathrm{circle}=\mathrm{diameter}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{circle}. \\ \mathrm{Thus}\mathrm{radius}=\frac{1}{2}\times \mathrm{distance}\mathrm{between}\mathrm{these}\mathrm{two}\mathrm{lines}. \\ \mathrm{distance}\mathrm{between}2\mathrm{parallel}\mathrm{lines}=\frac{\left|1+{\displaystyle \frac{7}{8}}\right|}{\sqrt{1+{\displaystyle \frac{9}{16}}}}=\frac{15}{8}\times \frac{4}{5}=\frac{3}{2} \\ \mathrm{So},\mathrm{radius}=\frac{1}{2}\times \frac{3}{2}=\frac{3}{4}\mathrm{units} \end{gathered}$$