Question

prove that cot x cot 2x- cot 2xcot3x - cot 3x cot x=1

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{LHS}=\mathrm{cotx}\cot 2\mathrm{x}-\cot 2\mathrm{x}\cot 3\mathrm{x}-\cot 3\mathrm{x}\mathrm{cotx} \\ =\cot 2\mathrm{x}\left(\mathrm{cotx}-\cot 3\mathrm{x}\right)-\cot 3\mathrm{x}\mathrm{cotx} \\ =\frac{\cos 2\mathrm{x}}{\sin 2\mathrm{x}}\left(\frac{\mathrm{cosx}}{\mathrm{sinx}}-\frac{\cos 3\mathrm{x}}{\sin 3\mathrm{x}}\right)-\cot 3\mathrm{x}\mathrm{cotx} \\ =\frac{\cos 2\mathrm{x}}{\sin 2\mathrm{x}}\left(\frac{\sin 3\mathrm{x}\mathrm{cosx}-\cos 3\mathrm{x}\mathrm{sinx}}{\mathrm{six}\sin 3\mathrm{x}}\right)-\frac{\cos 3\mathrm{x}\mathrm{cosx}}{\sin 3\mathrm{x}\mathrm{sinx}} \\ \mathbf{using}\mathbf{}\mathbf{formula}\mathbf{;}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{sin}\left(\mathbf{A}\mathbf{-}\mathbf{B}\right)\mathbf{=}\mathbf{}\mathbf{sinAcosB}\mathbf{-}\mathbf{cosAsinB} \\ =\frac{\cos 2\mathrm{x}}{\sin 2\mathrm{x}}\times \frac{\sin 2\mathrm{x}}{\mathrm{sinx}\sin 3\mathrm{x}}-\frac{\cos 3\mathrm{x}\mathrm{cosx}}{\sin 3\mathrm{x}\mathrm{sinx}} \\ =\frac{\cos 2\mathrm{x}-\cos 3\mathrm{x}\mathrm{cosx}}{\mathrm{sinx}\sin 3\mathrm{x}}=\frac{\cos 2\mathrm{x}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\cos \left(3\mathrm{x}+\mathrm{x}\right)+\cos \left(3\mathrm{x}-\mathrm{x}\right)\right)}{\mathrm{sinx}\sin 3\mathrm{x}}\left[\mathrm{as},2\mathrm{cosAcosB}=\cos \left(\mathrm{A}+\mathrm{B}\right)+\cos \left(\mathrm{A}-\mathrm{B}\right)\right] \\ =\frac{\cos 2\mathrm{x}-{\displaystyle \frac{1}{2}}\left(\cos 4\mathrm{x}+\cos 2\mathrm{x}\right)}{\mathrm{sinx}\sin 3\mathrm{x}}=\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}\left[\cos 2\mathrm{x}-\cos 4\mathrm{x}\right]}{\sin \mathrm{x}.\sin 3\mathrm{x}} \\ =\frac{{\displaystyle \frac{1}{2}}\left[-2\sin 3\mathrm{x}.\sin \left(-\mathrm{x}\right)\right]}{\sin \mathrm{x}.\sin 3\mathrm{x}} \\ =\frac{\sin 3\mathrm{x}\mathrm{sinx}}{\sin 3\mathrm{x}\mathrm{sinx}}=1=\mathrm{RHS} \end{gathered}$$