Question

Prove that $\frac{{\sin }^2\theta }{{\cos }^2\theta }+\frac{{\cos }^2\theta }{{\sin }^2\theta }={\sec }^2\theta -{\text{cosec}}^2\theta -2$

Answer 1

$LHS=\frac{si{n}^2\theta }{co{s}^2\theta }+\frac{co{s}^2\theta }{si{n}^2\theta }$

$=\frac{si{n}^4\theta +co{s}^4\theta }{si{n}^2\theta .co{s}^2\theta }$

We know that,

$a^2+b^2+2ab=(a+b{)}^2$ $\therefore (a+b{)}^2-2ab=a^2+b^2$

$=\frac{(si{n}^2\theta +co{s}^2\theta {)}^2-2si{n}^2\theta .co{s}^2\theta }{si{n}^2\theta .co{s}^2\theta }$

$=\frac{1-2si{n}^2\theta .co{s}^2\theta }{si{n}^2\theta .co{s}^2\theta }$

$=\frac{1}{si{n}^2\theta .co{s}^2\theta }-2$

$=se{c}^2\theta \left(cose{c}^2\theta \right)-2$ $(\because 1+co{t}^2\theta =cose{c}^2\theta )$

$=se{c}^2\theta (1+co{t}^2\theta )-2$ $(cos\theta =\frac{1}{sec\theta })$

$=se{c}^2\theta +se{c}^2\theta .\frac{co{s}^2\theta }{si{n}^2\theta }-2$

$=se{c}^2\theta +cose{c}^2\theta -2$

=RHS