Question

Prove that parallelogram on the same base and between the same parallels are equal in area.

Answer 1

Given: The parallelograms ABCD and ABEF be on the same base AB and between same parallels AB and FC.

​To prove: ar(ABCD) = ar(ABEF)

Proof:

$$\begin{gathered} \mathrm{As},\mathrm{CD}=\mathrm{AB}\left(\mathrm{Opposite}\mathrm{sides}\mathrm{of}\mathrm{parallelogram}\mathrm{ABCD}\right) \\ \mathrm{And},\mathrm{FE}=\mathrm{AB}\left(\mathrm{Opposite}\mathrm{sides}\mathrm{of}\mathrm{parallelogram}\mathrm{ABEF}\right) \\ \mathrm{So},\mathrm{FE}=\mathrm{CD} \\ \Rightarrow \mathrm{FE}+\mathrm{ED}=\mathrm{CD}+\mathrm{ED} \\ \Rightarrow \mathrm{FD}=\mathrm{CE}.....\left(\mathrm{i}\right) \\ \mathrm{Now}, \\ \mathrm{In}∆\mathrm{ADF}\mathrm{and}∆\mathrm{BCE}, \\ \mathrm{AD}=\mathrm{BC}\left(\mathrm{Opposite}\mathrm{sides}\mathrm{of}\mathrm{parallelogram}\mathrm{ABCD}\right) \\ \mathrm{AF}=\mathrm{BE}\left(\mathrm{Opposite}\mathrm{sides}\mathrm{of}\mathrm{parallelogram}\mathrm{ABEF}\right) \\ \mathrm{DF}=\mathrm{CE}\left[\mathrm{From}\left(\mathrm{i}\right)\right] \\ \mathrm{So},\mathrm{by}\mathrm{SSS}\mathrm{congruency} \\ ∆\mathrm{ADF}\cong \mathrm{BCE} \\ \Rightarrow \mathrm{ar}\left(∆\mathrm{ADF}\right)=\mathrm{ar}\left(∆\mathrm{BCE}\right)\left(\mathrm{Congruent}\mathrm{triangles}\mathrm{are}\mathrm{equal}\mathrm{in}\mathrm{area}\right) \\ \Rightarrow \mathrm{ar}\left(\mathrm{ABCF}\right)-\mathrm{ar}\left(∆\mathrm{ADF}\right)=\mathrm{ar}\left(\mathrm{ABCF}\right)-\mathrm{ar}\left(∆\mathrm{BCE}\right) \\ \therefore \mathrm{ar}\left(\mathrm{ABCD}\right)=\mathrm{ar}\left(\mathrm{ABEF}\right) \end{gathered}$$