Question

Q. How many different 6 digit numbers can be formed using the digits 0 - 8, if 5 has to be in the number? (Repetition is not allowed)

Q. 0-8 तक के अंकों का उपयोग करके 6 अंकों की अलग-अलग कितनी संख्याएँ बनाई जा सकती है, यदि संख्या में अंक 5 का होना अनिवार्य है? (संख्याओं की पुनरावृत्ति नहीं होनी चाहिए)

• A. 40320
• B. 37800
• C. 35280
• D. 36120

Answer 1

The correct option is D 36120

We have to form a 6 digit number using digit 0 to 8 (9 digits), and without repetition.

Let's assume the 6 digit number $\to$ N1 N2 N3 N4 N5 N6

First, let us fix 5. It can occupy any of the 6 positions.

• Fixing 5 at the place of N1 $\to$ Remaining 5 spots can be selected in $8\times 7\times 6\times 5\times 4=6720$ ways.
• Fixing 5 at the place of N2 $\to$ N1 can be selected in 7 ways (1 to 8 except 5, because it is already at the place of N2, and repetition is no allowed) and the remaining 4 spots can be selected in $7\times 6\times 5\times 4$ ways. Total $=7\times 7\times 6\times 5\times 4=5880$ ways
• Fixing 5 at the place of N3 $\to$ N1 can be selected in 7 ways (1 to 8 except 5, because it is already at the place of N3, and repetition is no allowed) and the remaining 4 spots can be selected in $7\times 6\times 5\times 4$ ways. Total $=7\times 7\times 6\times 5\times 4=5880$ ways
• We will get the same number of ways when 5 is fixed at N2, N3, N4, N5, and N6 $\to 5880$

Total number of ways $=(5\times 5880)+6720=36120$

Alternatively

All six digit numbers $=8\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4=53760$

All six digit numbers without $5=7\times 7\times 6\times 5\times 4\times 6=17640$

Difference $=53760-17640=36120$

हमें अंक 0 से 8 (9 अंक) का उपयोग करके और पुनरावृत्ति के बिना 6 अंकों की संख्या बनानी होगी।

मान लेते हैं कि 6 अंकों की संख्या है $\to$ N1 N2 N3 N4 N5 N6

सबसे पहले, अगर हम 5 को रखते हैं। यह 6 पदों में से किसी पर भी आ सकता है।

• N1 के स्थान पर 5 को रखने पर $\to$ शेष 5 स्थान $8\times 7\times 6\times 5\times 4=6720$ तरीकों से चुने जा सकते हैं।
• N2 के स्थान पर 5 को रखने पर $\to$ N1 को 7 तरीकों में चुना जा सकता है (5 को छोड़कर 1 से 8, क्योंकि यह पहले से ही N2 के स्थान पर है, और पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है) और शेष 4 स्थान $7\times 6\times 5\times 4$ तरीके से चुने जा सकते हैं। कुल $=7\times 7\times 6\times 5\times 4=5880$ तरीके
• N3 के स्थान पर 5 को रखने पर $\to$ N1 को 7 तरीकों में चुना जा सकता है (5 को छोड़कर 1 से 8 तक, क्योंकि यह पहले से ही N3 की जगह पर है, और पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है) और शेष 4 स्थान $7\times 6\times 5\times 4$ तरीके में चुने जा सकते हैं । कुल $=7\times 7\times 6\times 5\times 4=5880$ तरीके
• हमें समान तरीके प्राप्त होंगे जब 5 को N2, N3, N4, N5, और N6 के स्थान पर रखा जाएगा $\to 5880$

कुल तरीकों की संख्या $=(5\times 5880)+6720=36120$

वैकल्पिक रूप से

छह अंकों की सभी संख्या $=8\times 8\times 7\times 6\times 5\times 4=53760$

5 के बिना छह अंकों की सभी संख्या $=7\times 7\times 6\times 5\times 4\times 6=17640$
अंतर $=53760-17640=36120$