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Question
Six bottles numbered from 1 to 6, are kept in a row and they are to be filled with either water or milk, such that no two adjacent bottles can be filled with milk. Then, in how many different ways can these bottles be filled?
1 से लेकर 6 तक संख्यांकित छः बोतलों को एक पंक्ति में रखा जाता है और उन्हें या तो पानी से या फिर दूध से इस प्रकार भरा जाता है कि, किसी भी दो निकटवर्ती बोतलों को दूध से नहीं भरा जा सकता। इस स्थिति में इन बोतलों को कितने विभिन्न तरीके से भरा जा सकता है?
Six bottles numbered from 1 to 6, are kept in a row and they are to be filled with either water or milk, such that no two adjacent bottles can be filled with milk. Then, in how many different ways can these bottles be filled?
1 से लेकर 6 तक संख्यांकित छः बोतलों को एक पंक्ति में रखा जाता है और उन्हें या तो पानी से या फिर दूध से इस प्रकार भरा जाता है कि, किसी भी दो निकटवर्ती बोतलों को दूध से नहीं भरा जा सकता। इस स्थिति में इन बोतलों को कितने विभिन्न तरीके से भरा जा सकता है?
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Solution
The correct option is D 49
Total number of ways of filling the 6 bottles numbered as (1,2,3,4,5 and 6) with either water or milk = 26 = 64 ways.
Two adjacent bottles with milk can be obtained in 5 ways, i.e. (1,2), (2,3), (3,4), (4,5) and (5,6).
Three adjacent bottles with milk can be obtained in 4 ways, i.e. (1,2,3), (2,3,4), (3,4,5) and (4,5,6).
Four adjacent bottles with milk can be obtained in 3 ways, i.e. (1,2,3,4), (2,3,4,5) and (3,4,5,6).
Five adjacent bottles with milk can be obtained in 2 ways, i.e. (1,2,3,4,5) and (2,3,4,5,6).
Six adjacent bottles with milk can be got in only 1 way (1,2,3,4,5,6).
So, the total number of ways of filling the bottles such that adjacent bottles have milk = (5 + 4 + 3 + 2 + 1) = 15.
Hence, the number of ways of filling up the bottles such that no two adjacent bottles have milk = 64 – 15 = 49.
Hence, option (d) is the correct answer.
(1, 2, 3, 4, 5 और 6) के रूप में चिन्हित 6 बोतलों को पानी या दूध से भरने के कुल तरीके = 26 = 64 तरीके
दूध वाले 2 निकटवर्ती बोतल 5 प्रकार से प्राप्त किये जा सकते हैं यानी (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5) और (5, 6)
दूध वाले 3 निकटवर्ती बोतल 4 प्रकार से प्राप्त किये जा सकते हैं यानी (1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5) और (4, 5, 6)
दूध वाले 4 निकटवर्ती बोतल 3 प्रकार से प्राप्त किये जा सकते हैं यानी (1, 2, 3, 4), (2, 3, 4, 5) और (3, 4, 5, 6)
दूध वाले 5 निकटवर्ती बोतल 2 प्रकार से प्राप्त किये जा सकते हैं यानी (1, 2, 3, 4, 5) और (2, 3, 4, 5, 6)
दूध वाले 6 निकटवर्ती बोतल केवल 1 प्रकार से प्राप्त किये जा सकते हैं यानी (1, 2, 3, 4, 5, 6)
इसलिए बोतलों को भरने के कुल तरीके ताकि दो निकटवर्ती बोतलों में दूध ही भरा जाए = (5 + 4 + 3 + 2 + 1) = 15
इसलिए, बोतलों को भरने के कुल तरीके ताकि दो निकटवर्ती बोतलों में दूध न भरा जा सके = 64 - 15 = 49
इस प्रकार, विकल्प (d) सही उत्तर है।
Total number of ways of filling the 6 bottles numbered as (1,2,3,4,5 and 6) with either water or milk = 26 = 64 ways.
Two adjacent bottles with milk can be obtained in 5 ways, i.e. (1,2), (2,3), (3,4), (4,5) and (5,6).
Three adjacent bottles with milk can be obtained in 4 ways, i.e. (1,2,3), (2,3,4), (3,4,5) and (4,5,6).
Four adjacent bottles with milk can be obtained in 3 ways, i.e. (1,2,3,4), (2,3,4,5) and (3,4,5,6).
Five adjacent bottles with milk can be obtained in 2 ways, i.e. (1,2,3,4,5) and (2,3,4,5,6).
Six adjacent bottles with milk can be got in only 1 way (1,2,3,4,5,6).
So, the total number of ways of filling the bottles such that adjacent bottles have milk = (5 + 4 + 3 + 2 + 1) = 15.
Hence, the number of ways of filling up the bottles such that no two adjacent bottles have milk = 64 – 15 = 49.
Hence, option (d) is the correct answer.
(1, 2, 3, 4, 5 और 6) के रूप में चिन्हित 6 बोतलों को पानी या दूध से भरने के कुल तरीके = 26 = 64 तरीके
दूध वाले 2 निकटवर्ती बोतल 5 प्रकार से प्राप्त किये जा सकते हैं यानी (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5) और (5, 6)
दूध वाले 3 निकटवर्ती बोतल 4 प्रकार से प्राप्त किये जा सकते हैं यानी (1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5) और (4, 5, 6)
दूध वाले 4 निकटवर्ती बोतल 3 प्रकार से प्राप्त किये जा सकते हैं यानी (1, 2, 3, 4), (2, 3, 4, 5) और (3, 4, 5, 6)
दूध वाले 5 निकटवर्ती बोतल 2 प्रकार से प्राप्त किये जा सकते हैं यानी (1, 2, 3, 4, 5) और (2, 3, 4, 5, 6)
दूध वाले 6 निकटवर्ती बोतल केवल 1 प्रकार से प्राप्त किये जा सकते हैं यानी (1, 2, 3, 4, 5, 6)
इसलिए बोतलों को भरने के कुल तरीके ताकि दो निकटवर्ती बोतलों में दूध ही भरा जाए = (5 + 4 + 3 + 2 + 1) = 15
इसलिए, बोतलों को भरने के कुल तरीके ताकि दो निकटवर्ती बोतलों में दूध न भरा जा सके = 64 - 15 = 49
इस प्रकार, विकल्प (d) सही उत्तर है।
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