Question

Solve:

$\int \frac{1+x+\sqrt{x+x^2}}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}dx$ is equal to

• A. $\frac{1}{2}\sqrt{1+x}C$
• B. $\frac{2}{3}(1+x{)}^{3/2}+C$
• C. $\sqrt{1+x}+C$
• D. $\frac{3}{2}(1+x{)}^{32}+C$

Answer 1

The correct option is B $\frac{2}{3}(1+x{)}^{3/2}+C$

$\int \frac{(1+x)+\sqrt{x+x^2}}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}dx$

$=\int \frac{(1+x)+\sqrt{x(1+x)}}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}\times \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{1+x})}{(\sqrt{x}-\sqrt{1+x})}dx$

$=\int \frac{(1+x)+\sqrt{x}\sqrt{(1+x)}}{(x-(1+x\left)\right)}(\sqrt{x}-\sqrt{1+x})dx$

$=\int \frac{\sqrt{x}(1+x)-\sqrt{1+x}(1+x)+x\sqrt{1+x}-\sqrt{x}(1+x)}{(-1)}dx$

$=\int \frac{\sqrt{1+x}(x-1-x)}{(-1)}dx$

$=\int \sqrt{1+x}dx$

$=\frac{2(x+1{)}^{\frac{3}{2}}}{3}+C$

$\therefore \int \frac{(1+x)+\sqrt{x+x^2}}{\sqrt{x}+\sqrt{1+x}}dx=\frac{2(x+1{)}^{\frac{3}{2}}}{3}+C$.