Without using trigonometric tables, prove that:
(i)tan 48∘ tan 23∘ tan 42∘ tan 67∘=1
(ii)tan 7∘ tan 23∘ tan 60∘ tan 67∘ tan 83∘=√3
(iii)cot 12∘ cot 38∘ cot 52∘ cot 60∘ cot 78∘=1√3 [3 MARKS]
Solution: 1 Mark each
We have:
(i)tan 48∘ tan 23∘ tan 42∘ tan 67∘
=(tan 48∘ tan 42∘)(tan 23∘ tan 67∘)
={tan 48∘.tan(90∘−48∘)}{tan 23∘.tan(90∘−23∘)}
=(tan 48∘ cot 48∘)(tan 23∘ cot 23∘)
[∵tan(90∘−θ)=cot θ]
=1×1=1
(ii)tan 7∘ tan 23∘ tan 60∘ tan 67∘ tan 83∘
=tan 7∘ tan 83∘.tan 23∘.tan(90∘−23∘).tan 60∘
=(tan 7∘.cot 7∘).(tan 23∘.cot 23∘).tan 60∘
[∵tan(90∘−θ)=cot θ]
=1×1×√3=√3
[∵tan θ.cot θ=1 and tan 60∘=√3]
(iii)cot 12∘ cot 38∘ cot 52∘ cot 60∘ cot 78∘
=(cot 12∘.cot 78∘).(cot 38∘.cot 52∘).cot 60∘
={cot 12∘.cot(90∘−12∘)}{cot 38∘.cot(90∘−38∘)}.cot 60∘
=(cot 12∘.tan 12∘).(cot 38∘.tan 38∘).cot 60∘
[∵cot(90∘−θ)=tan θ]
=1×1×1√3=1√3 [∵cot θ.tan θ=1 and cot 60∘=1√3]