Question

Let $f\left(x\right)+f\left(2x\right)+f(2-x)+f(1+x)=x,\text{for all}x\in R$ then $f\left(0\right)$ equals:

• A. $-\frac{1}{4}$
• B. $\frac{1}{4}$
• C. $\frac{1}{2}$
• D. $-\frac{1}{2}$

Answer 1

The correct option is A $-\frac{1}{4}$

$f\left(x\right)+f\left(2x\right)+f(2-x)+f(1+x)=x$

$x=1\Rightarrow f\left(1\right)+f\left(2\right)+f\left(1\right)+f\left(2\right)=1$

$\Rightarrow 2f\left(1\right)+2f\left(2\right)=1$

$\Rightarrow f\left(1\right)+f\left(2\right)=1/2$ _____ (1)

$x=0\Rightarrow f\left(0\right)+f\left(0\right)+f\left(2\right)+f\left(1\right)=0$

$\Rightarrow 2f\left(0\right)+f\left(1\right)+f\left(2\right)=0$

$\Rightarrow 2f\left(0\right)+\frac{1}{2}=0$ (from (1))

$\Rightarrow f\left(0\right)=\frac{-1}{4}$