Question

Prove that: $\left|\begin{array}{ccc}b+c& a& b\\ c+a& c& a\\ a+b& b& c\end{array}\right|=(a+b+c)(a-c{)}^2$.

Answer 1

$\left|\begin{array}{ccc}b+c& a& b\\ c+a& c& a\\ a+b& b& c\end{array}\right|=(b+c)(c^2-ab)-a\left(c\right(c+a)-a(a+b)+b(b(c+a)-c(a+b))$

$=(b+c)(c^2-ab)-ac(c+a)+a^2(a+b)+b^2(c+a)-bc(a+b)$

$=(b+c)(c^2-ab)+(b^2-ac)(c+a)+(a^2-bc)(a+b)$

$=a(a^2-bc+b^2-ac)+b(c^2-ab+a^2-bc)+c(b^2-ac+c^2-ab)$

$=a(a^2-bc+b^2-ac+c^2-c^2-ac+ac)+b(c^2-ab+a^2-bc-2ac+2ac)+c(b^2-ac+c^2-ab+a^2-a^2-ac+ac)$ (completing $(a-c{)}^2$ in each bracket)

$=a(a^2-ac+c^2-bc+b^2-c^2+ac)+b(a^2-2ac+c^2-ab-bc+2ac)+c(a^2-2ac+c^2-ab+b^2-a^2+ac)$

$=a\left(\right(a-c{)}^2-bc+b^2-c^2+ac)+b((a-c{)}^2-ab-bc+2ac)+c\left(\right(a-c{)}^2-ab+b^2-a^2+ac)$

$=(a+b+c)(a-c{)}^2+a(-bc+b^2-c^2+ac)+b(-ab-bc+2ac)+c(-ab+b^2-a^2+ac)$

$=(a+b+c)(a-c{)}^2-abc+a{b}^2-a{c}^2+a^{2}c-a{b}^2-b^{2}c+2abc-abc+b^{2}c-a^{2}c+a{c}^2$

$=(a+b+c)(a-c{)}^2$

Hence, proved.