Question

Q.(ii). Find range of :
$\frac{6x^2-22x+21}{5x^2-18x+17}\forall x\in R$

Answer 1

Dear student
$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{y}=\frac{6{\mathrm{x}}^2-22\mathrm{x}+21}{5{\mathrm{x}}^2-18\mathrm{x}+17} \\ \Rightarrow \mathrm{y}\left(5{\mathrm{x}}^2-18\mathrm{x}+17\right)=6{\mathrm{x}}^2-22\mathrm{x}+21 \\ \Rightarrow 5{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}-18\mathrm{xy}+17\mathrm{y}=6{\mathrm{x}}^2-22\mathrm{x}+21 \\ \Rightarrow 6{\mathrm{x}}^2-22\mathrm{x}+21-5{\mathrm{x}}^2\mathrm{y}+18\mathrm{xy}-17\mathrm{y}=0 \\ \Rightarrow \left(6-5\mathrm{y}\right){\mathrm{x}}^2+\left(-22+18\mathrm{y}\right)\mathrm{x}+(21-17\mathrm{y})=0 \\ \mathrm{Here}\mathrm{a}=\left(6-5\mathrm{y}\right),\mathrm{b}=\left(-22+18\mathrm{y}\right)\mathrm{and}\mathrm{c}=(21-17\mathrm{y}) \\ \mathrm{So},\mathrm{D}={\mathrm{b}}^2-4\mathrm{ac}={\left(-22+18\mathrm{y}\right)}^2-4\left(6-5\mathrm{y}\right)\left(21-17\mathrm{y}\right) \\ =\left(484+324{\mathrm{y}}^2-792\mathrm{y}\right)-4\left(126-102\mathrm{y}-105\mathrm{y}+85{\mathrm{y}}^2\right) \\ =484+324{\mathrm{y}}^2-792\mathrm{y}-504+828\mathrm{y}-340{\mathrm{y}}^2 \\ =-16{\mathrm{y}}^2+36\mathrm{y}-20 \\ \mathrm{So},-16{\mathrm{y}}^2+36\mathrm{y}-20\ge 0 \\ \Rightarrow -4{\mathrm{y}}^2+9\mathrm{y}-5\ge 0 \\ \Rightarrow 4{\mathrm{y}}^2-9\mathrm{y}+5\le 0 \\ \mathrm{Consider},4{\mathrm{y}}^2-9\mathrm{y}+5=0 \\ \Rightarrow \mathrm{y}=\frac{-(-9)\pm \sqrt{{\left(-9\right)}^2-4\left(4\right)\left(5\right)}}{2\left(4\right)}\left[\mathrm{By}\mathrm{quadratic}\mathrm{formula}\right] \\ \Rightarrow \mathrm{y}=\frac{9\pm \sqrt{81-80}}{8} \\ \Rightarrow \mathrm{y}=\frac{9\pm 1}{8} \\ \Rightarrow \mathrm{y}=1\mathrm{or}\mathrm{y}=\frac{5}{4} \\ \mathrm{So},\left(\mathrm{y}-\frac{5}{4}\right)\left(\mathrm{y}-1\right)\le 0 \\ \mathrm{Compute}\mathrm{the}\mathrm{signs}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{factors}\mathrm{of}\left(\mathrm{y}-\frac{5}{4}\right)\left(\mathrm{y}-1\right) \end{gathered}$$

	y<1	y=1	$1<\mathrm{y}<\frac{5}{4}$	$\mathrm{y}=\frac{5}{4}$	$\mathrm{y}>\frac{5}{4}$
$\mathrm{y}-\frac{5}{4}$	-	-	-	0	+
y-1	-	0	+	+	+
$\left(\mathrm{y}-\frac{5}{4}\right)\left(\mathrm{y}-1\right)$	+	0	-	0	+

$$\begin{gathered} \mathrm{Choosing}\mathrm{ranges}\mathrm{that}\mathrm{satisfy}\mathrm{the}\mathrm{required}\mathrm{condition}:\le 0 \\ 1\le \mathrm{y}\le \frac{5}{4} \\ \mathrm{So},\mathrm{The}\mathrm{range}\mathrm{is}\mathrm{x}\in \left[1,\frac{5}{4}\right] \end{gathered}$$
Regards