Question

$\left|\begin{array}{ccc}1+a^2-b^2& 2ab& -2b\\ 2ab& 1-a^2+b^2& 2a\\ 2b& -2a& 1-a^2-b^2\end{array}\right|=(1+a^2+b^2{)}^3$

Answer 1

$LHS=\left|\begin{array}{ccc}1+a^2-b^2& 2ab& -2b\\ 2ab& 1-a^2+b^2& 2a\\ 2b& -2a& 1-a^2-b^2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1+a^2+b^2& 0& -2b\\ 0& 1+a^2+b^2& 2a\\ b(1+a^2+b^2)& -a(1+a^2+b^2)& 1-a^2-b^2\end{array}\right|(C_1\to C_1-b{C}_{3}and{C}_2\to C_2+a{C}_3)$

$=(1+a^2+b^2{)}^2\left|\begin{array}{ccc}1& 0& -2b\\ 0& 1& 2a\\ b& -a& 1-a^2-b^2\end{array}\right|$

(take out ($1+a^2+b^2)$ common from $C_1$ and same from $C_2$
$=(1+a^2+b^2)\left|\begin{array}{ccc}1& 0& -2b\\ 0& 1& 2a\\ 0& 0& 1+a^2+b^2\end{array}\right|(R_3\to R_3-b{R}_1+a{R}_2)$
Expanding along $R_1$, we get
$=(1+a^2+b^2{)}^2[1(1+a^2+b^2)]=(1+a^2+b^2{)}^3=RHS$