Question

If 1 – i is a root of the equation x² + ax + b = 0, where a, b ∈ R, then the values of a and b are ____________.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{for}\mathrm{equation}{x}^2+ax+b=0\mathrm{one}\mathrm{root}\mathrm{is}1-i. \\ \mathrm{Let}\mathrm{us}\mathrm{suppose}\mathrm{other}\mathrm{root}\mathrm{i}sp+iq\mathrm{when}p,q\in \mathrm{ℝ} \\ \mathrm{Sum}\mathrm{of}\mathrm{roots}\mathrm{of}\mathrm{quadratic}\mathrm{equations}\mathrm{is}=-a \\ \mathrm{i}.\mathrm{e}.\left(1-i\right)+\left(p+iq\right)=-a \\ \mathrm{i}.\mathrm{e}.1+p+i(-1+q)=-a \\ \mathrm{since}\mathrm{a}\mathrm{is}\mathrm{real}\left(\mathrm{given}\right) \\ \Rightarrow -1+q=0\left(\mathrm{i}.\mathrm{e}.\mathrm{imaginary}\mathrm{part}\mathrm{is}\mathrm{zero}\right) \\ \mathrm{i}.\mathrm{e}.q=1 \\ \mathrm{also}\mathrm{product}\mathrm{of}\mathrm{roots}=b \\ \Rightarrow \left(1-i\right)\left(p+iq\right)=b \\ \mathrm{i}.\mathrm{e}.p-i^{2}q-ip+iq=b \\ \mathrm{i}.\mathrm{e}.p+q+i\left(q-p\right)=b \\ \mathrm{Since}b\mathrm{is}\mathrm{also}\mathrm{real}\Rightarrow p-q=0 \\ \Rightarrow p=q=1 \\ \mathrm{Hence}a=1+p=-2,b=p+q=1+1=2 \end{gathered}$$