Question

If $A=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$ such that A⁵ = λA, then λ = ___________.

Answer 1

The given matrix is $A=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$.

$\therefore A^2=A.A=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}4+0+0& 0+0+0& 0+0+0\\ 0+0+0& 0+4+0& 0+0+0\\ 0+0+0& 0+0+0& 0+0+4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}4& 0& 0\\ 0& 4& 0\\ 0& 0& 4\end{array}\right]$

$A^4=A^2.A^2=\left[\begin{array}{ccc}4& 0& 0\\ 0& 4& 0\\ 0& 0& 4\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}4& 0& 0\\ 0& 4& 0\\ 0& 0& 4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}16+0+0& 0+0+0& 0+0+0\\ 0+0+0& 0+16+0& 0+0+0\\ 0+0+0& 0+0+0& 0+0+16\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}16& 0& 0\\ 0& 16& 0\\ 0& 0& 16\end{array}\right]$

$A^5=A^4.A=\left[\begin{array}{ccc}16& 0& 0\\ 0& 16& 0\\ 0& 0& 16\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}32+0+0& 0+0+0& 0+0+0\\ 0+0+0& 0+32+0& 0+0+0\\ 0+0+0& 0+0+0& 0+0+32\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}32& 0& 0\\ 0& 32& 0\\ 0& 0& 32\end{array}\right]$

Now,

$A^5=\left[\begin{array}{ccc}32& 0& 0\\ 0& 32& 0\\ 0& 0& 32\end{array}\right]=16\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$

$\Rightarrow A^5=16A$

It is given that, A⁵ = λA.

∴ λ = 16

If $A=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 0& 2& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right]$ such that A⁵ = λA, then λ = ____16____.