Question

If $A$ is a square matrix, then $(adjA{)}^{-1}=adj(A^{-1})=$

• A. $A^{-1}$
• B. $\frac{A}{|A{|}^2}$
• C. $\frac{A}{|A|}$
• D. $A|A|$

Answer 1

The correct option is C $\frac{A}{|A|}$

$\left(\text{I}\right)A^{-1}=\frac{adjA}{|A|}$
Replace $A$ with $adj\left(A\right),$ we get
$(adjA{)}^{-1}=\frac{adj\left(adjA\right)}{|adjA|}=\frac{|A{|}^{n-2}\cdot A}{|A{|}^{n-1}}=\frac{A}{|A|}$

$\left(\text{II}\right)A^{-1}=\frac{adjA}{|A|}$
Replace $A$ with $A^{-1},$ we get
$(A^{-1}{)}^{-1}=\frac{adj{A}^{-1}}{|A^{-1}|}\Rightarrow A=|A|\cdot adj(A^{-1})\Rightarrow adj(A^{-1})=\frac{A}{|A|}$

Hence, $(adjA{)}^{-1}=adj(A^{-1})=\frac{A}{|A|}$