Question

Show that:$(\mathrm{a}-\mathrm{b})(\mathrm{a}+\mathrm{b})+(\mathrm{b}-\mathrm{c})(\mathrm{b}+\mathrm{c})+(\mathrm{c}-\mathrm{a})(\mathrm{c}+\mathrm{a})=0$

Answer 1

$\mathrm{L}.\mathrm{H}.\mathrm{S}=(\mathrm{a}-\mathrm{b})(\mathrm{a}+\mathrm{b})+(\mathrm{b}-\mathrm{c})(\mathrm{b}+\mathrm{c})+(\mathrm{c}-\mathrm{a})(\mathrm{c}+\mathrm{a})$

Solving each term using an algebraic identity.

Identity used in the solution is $(\mathrm{x}+\mathrm{y})(\mathrm{x}–\mathrm{y})={\mathrm{x}}^2–{\mathrm{y}}^2$

$(\mathrm{a}–\mathrm{b})(\mathrm{a}+\mathrm{b})={\mathrm{a}}^2–{\mathrm{b}}^2$

Similarly$(\mathrm{b}–\mathrm{c})(\mathrm{b}+\mathrm{c})={\mathrm{b}}^2–{\mathrm{c}}^2$

Also$(\mathrm{c}–\mathrm{a})(\mathrm{c}+\mathrm{a})$ $={\mathrm{c}}^2-{\mathrm{a}}^2$

On the basis of the above information, we get

$(\mathrm{a}-\mathrm{b})(\mathrm{a}+\mathrm{b})+(\mathrm{b}-\mathrm{c})(\mathrm{b}+\mathrm{c})+(\mathrm{c}-\mathrm{a})(\mathrm{c}+\mathrm{a})=$${\mathrm{a}}^2–{\mathrm{b}}^2+{\mathrm{b}}^2-{\mathrm{c}}^2+{\mathrm{c}}^2-{\mathrm{a}}^2$

$=0$

⇒$\mathrm{LHS}=\mathrm{RHS}$

Thus,$(\mathrm{a}-\mathrm{b})(\mathrm{a}+\mathrm{b})+(\mathrm{b}-\mathrm{c})(\mathrm{b}+\mathrm{c})+(\mathrm{c}-\mathrm{a})(\mathrm{c}+\mathrm{a})=0$.

Hence proved.