Question

Solve the equation Tan^-1(√x^2+x)+ sin^-1(√x^2+x+1)=π/2

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Consider}\mathrm{the}\mathrm{trigonometric}\mathrm{equation}. \\ {\tan }^{-1}\left(\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}}\right)+{\sin }^{-1}\left(\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{2} \\ \mathrm{Suppose}\mathrm{that}\mathrm{y}={\tan }^{-1}\left(\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}}\right)\mathrm{whcih}\mathrm{implies}\mathrm{that}, \\ \tan \mathrm{y}=\frac{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}}}{1}\left(=\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{B}}\right) \\ \mathrm{where}\mathrm{P}=\mathrm{perpendicular},\mathrm{B}=\mathrm{base}\mathrm{of}\mathrm{right}\mathrm{traingle}. \\ \mathrm{Then}\mathrm{H}=\mathrm{hypotenuse}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{by}, \\ \mathrm{H}=\sqrt{{\mathrm{P}}^2+{\mathrm{B}}^2} \\ =\sqrt{{\left(\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}}\right)}^2+1^2} \\ =\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1} \\ \mathrm{So}\mathrm{the}\mathrm{value}\sin \mathrm{y}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{by} \\ \sin \mathrm{y}=\frac{\mathrm{P}}{\mathrm{H}}=\frac{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}}}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}} \\ \mathrm{This}\mathrm{further}\mathrm{implies}\mathrm{that}, \\ \mathrm{y}={\sin }^{-1}\left(\frac{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}}}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}}\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{So}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{equation}\mathrm{reduces}\mathrm{to}, \\ {\sin }^{-1}\left(\frac{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}}}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}}\right)+{\sin }^{-1}\left(\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{2} \\ \mathrm{Use}\mathrm{the}\mathrm{formula}, \\ {\sin }^{-1}\left(\mathrm{A}\right)+{\sin }^{-1}\left(\mathrm{B}\right)={\sin }^{-1}\left(\mathrm{A}\sqrt{1-{\mathrm{B}}^2}+\mathrm{B}\sqrt{1-{\mathrm{A}}^2}\right) \\ \mathrm{This}\mathrm{implies}\mathrm{that}, \\ {\sin }^{-1}\left(\frac{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}}}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}}\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}}+\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}\sqrt{1-\frac{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}}\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{2} \\ \left(\frac{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}}+\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}\sqrt{\frac{1}{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}}\right)=\sin \frac{\mathrm{\pi }}{2} \\ \left(\frac{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}}+\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}\frac{1}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}}\right)=\sin \frac{\mathrm{\pi }}{2} \\ \left(\frac{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}}+1\right)=1 \\ \mathrm{Subtarct}1\mathrm{from}\mathrm{both}\mathrm{sides}\mathrm{to}\mathrm{get}, \\ \frac{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}}+\cancel{1}-\cancel{1}=\cancel{1}-\cancel{1} \\ \frac{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+1}}=0 \\ \mathrm{x}\left(\mathrm{x}+1\right)=0 \\ \mathrm{Equate}\mathrm{each}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{factor}\mathrm{to}\mathrm{zero}\mathrm{to}\mathrm{get}, \\ \mathbf{}\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{0}\mathbf{}\mathbf{and}\mathbf{}\mathbf{x}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{1} \end{gathered}$$