Question

The $\left|\begin{array}{ccc}a& b-c& c+b\\ a+c& b& c-a\\ a-b& b+a& c\end{array}\right|$ is equal to

• A. $abc$$(a^2+b^2+c^2)$
• B. $(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$
• C. $(a+b+c{)}^2(a^2+b^2+c^2)$
• D. $abc$

Answer 1

Answer: (B)

$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$

$\left|\begin{array}{ccc}a& b-c& c+b\\ a+c& b& c-a\\ a-b& b+a& c\end{array}\right|$
$C_1\to a{C}_1$
$=\frac{1}{a}\left|\begin{array}{ccc}{a}^2& b-c& c+b\\ a^2+ac& b& c-a\\ a^2-ab& b+a& c\end{array}\right|$
$C_1\to C_1+b{C}_2+c{C}_3$
$=\frac{1}{a}\left|\begin{array}{ccc}{a}^2+b^2+c^2& b-c& c+b\\ a^2+b^2+c^2& b& c-a\\ a^2+b^2+c^2& b+a& c\end{array}\right|$
$=\frac{a^2+b^2+c^2}{a}\left|\begin{array}{ccc}1& b-c& c+b\\ 1& b& c-a\\ 1& b+a& c\end{array}\right|$
$R_2\to R_2-R_1,R_3\to R_3-R_1$
$=\frac{a^2+b^2+c^2}{a}\left|\begin{array}{ccc}1& b-c& c+b\\ 0& c& -(a+b)\\ 0& a+c& -b\end{array}\right|$
$=\frac{a^2+b^2+c^2}{a}[-bc+a^2+ac+bc+ab]$
$=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)$