Question

The sum of the series $1+\frac{1.3}{6}+\frac{\mathrm{1.3.5}}{6.8}+....\infty$ is

• A. $1$
• B. $0$
• C. $\infty$
• D. $4$

Answer 1

The correct option is D $4$

$S_n=1+\frac{1.3}{6}+\frac{\mathrm{1.3.5}}{6.8}+...\infty$

$\Rightarrow 8[\frac{1}{2.4}+\frac{1.3}{\mathrm{2.4.6}}+\frac{\mathrm{1.3.5}}{\mathrm{2.4.6.8}}+]$

$T_n=\frac{\mathrm{1.3...}(2n-1)\left[\right(2n+2)-(2n+1\left)\right]}{\mathrm{2.4...}(2n+2)}$

$T_n=\frac{\mathrm{1.3.5...}(2n-1)(2n+2)}{\mathrm{2.4.6...}(2n+2)}$

$\frac{\mathrm{1.3.5...}(2n-1)(2n+1)}{\mathrm{2.4...}(2n+2)}$

$T_1+T_2+...T_n.$

$\frac{1.4}{2.4}-\frac{1.3}{2.4}+\frac{\mathrm{1.3.6}}{\mathrm{2.4.6}}-\frac{\mathrm{1.3.5}}{\mathrm{2.4.6}}+\frac{\mathrm{1.3.5.8}}{\mathrm{2.4.6.8}}-\frac{\mathrm{1.3.5.7}}{\mathrm{2.4.6.8}}$

$\sum T_n=\frac{1.4}{2.4}-\frac{\mathrm{1.3.5.7...}(2n-1)(2n+1)}{\mathrm{2.4.6.8...}(2n+2)}\to 0$

putting $n\to \infty$

$\underset{n\to \infty }{lim}\sum T_n=\frac{1}{2}$

$\therefore S_n=8\left[\frac{1}{2}\right]=8\times \frac{1}{2}=4$

So, option (d) is correct.