From given expression we can see that
π16,7π16 and 3π16,5π16 are complementry angles
∴cos2(π16)+cos2(3π16)+cos2(5π16)+cos2(7π16)
=[cos2(π16)+cos2(7π16)]+[cos2(3π16)+cos2(5π16)]
=[cos2(π16)+cos2(π2−π16)]+[cos2(3π16)+cos2(π2−3π16)]
=[cos2(π16)+sin2(π16)]+[cos2(3π16)+sin2(3π16)]
=1+1=2