Question

The value of the $\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{x}+2\mathrm{sinx}}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{sinx}+1}-\sqrt{\mathrm{x}-{\sin }^2\mathrm{x}+1}}$is

Answer 1

Finding the value of $\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{x}+2\mathrm{sinx}}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{sinx}+1}-\sqrt{\mathrm{x}-{\sin }^2\mathrm{x}+1}}$:

Calculate the limit:

$\begin{array}{rcl}\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{x}+2\mathrm{sinx}}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{sinx}+1}-\sqrt{\mathrm{x}-{\sin }^2\mathrm{x}+1}}& =& \underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{(\mathrm{x}+2\mathrm{sinx})\left(\sqrt{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{sinx}+1}+\sqrt{\mathrm{x}+{\cos }^2\mathrm{x}}\right)}{\left({\mathrm{x}}^2+2\mathrm{sinx}+1\right)-\left(\mathrm{x}+{\cos }^2\mathrm{x}\right)}\\ & =& \underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{\left(\mathrm{x}+2\mathrm{sinx}\right)\left(\sqrt{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{sinx}+1}+\sqrt{\mathrm{x}+{\cos }^2\mathrm{x}}\right)}{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{sinx}+1+1-\mathrm{x}+{\sin }^2\mathrm{x}-1}\\ & =& \underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{\left(\mathrm{x}+2\mathrm{sinx}\right)\left(\sqrt{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{sinx}+1}+\sqrt{\mathrm{x}+{\cos }^2\mathrm{x}}\right)}{{\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}+2\mathrm{sinx}+{\sin }^2\mathrm{x}}\\ & =& \frac{\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\left(\mathrm{x}+2\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{x}}\right)\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\left(\sqrt{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{sinx}+1}+\sqrt{\mathrm{x}+{\cos }^2\mathrm{x}}\right)}{\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\left({\mathrm{x}}^2+2\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{x}}+\mathrm{sinx}\times \left(\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{x}}\right)\right)}\\ & =& \frac{\left(1+2\right)\left(1+1\right)}{0-1+2+0}\\ & =& 6\end{array}$

Therefore, the value of $\underset{\mathrm{x}\to 0}{\lim }\frac{\mathrm{x}+2\mathrm{sinx}}{\sqrt{{\mathrm{x}}^2+2\mathrm{sinx}+1}-\sqrt{\mathrm{x}-{\sin }^2\mathrm{x}+1}}$is $6$